Родом из села Нариманкенд Кедабекского района Джейхун Азиз оглы Байрамов родился в 1973 году в городе Баку. 
В 1990 году окончил школу с серебряной медалью. Окончил Азербайджанский государственный экономический институт по специальности экономики, также Азербайджанский университет по специальности юриспруденции.
В 1996–2000 годах работал на различных должностях в Министерстве налогов, в 2000–2002 годах в качестве юриста в компании «Salans Hertzfeld & Heilbronn (Baku) Limited», а в 2002–2013 годах директором юридической компании «OMNİ».
В 2004–2012 годах ежегодно входил в список ведущих юристов в области налогообложения и гражданского права Азербайджана компанией Chambers Global, IFLR1000 и Legal500, одного из ведущих мировых юридических изданий.
С 30 мая по 12 августа 2013 года занимал должность начальника Управления аппарата Министерства образования Азербайджанской Республики.
Указом Президента Азербайджанской Республики от 12 августа 2013 года назначен заместителем министра образования Азербайджанской Республики.
Указом Президента Азербайджанской Республики Ильхама Алиева от 23 апреля 2018 года назначен министром образования.
Указом Президента Азербайджанской Республики Ильхама Алиева от 16 июля 2020 года назначен министром иностранных дел.
Женат, имеет двоих детей.